基本算法思想

如何理解“贪心算法”？

关于贪心算法，我们先看一个例子。

假设我们有一个可以容纳 100kg 物品的背包，可以装各种物品。我们有以下 5 种豆子，每种豆子的总量和总价值都各不相同。为了让背包中所装物品的总价值最大，我们如何选择在背包中装哪些豆子？每种豆子又该装多少呢？

实际上，这个问题很简单，我估计你一下子就能想出来，没错，我们只要先算一算每个物品的单价，按照单价由高到低依次来装就好了。单价从高到低排列，依次是：黑豆、绿豆、红豆、青豆、黄豆，所以，我们可以往背包里装 20kg 黑豆、30kg 绿豆、50kg 红豆。

这个问题的解决思路显而易见，它本质上借助的就是贪心算法。结合这个例子，我总结一下贪心算法解决问题的步骤，我们一起来看看。

第一步，当我们看到这类问题的时候，首先要联想到贪心算法：针对一组数据，我们定义了限制值和期望值，希望从中选出几个数据，在满足限制值的情况下，期望值最大。

类比到刚刚的例子，限制值就是重量不能超过 100kg，期望值就是物品的总价值。这组数据就是 5 种豆子。我们从中选出一部分，满足重量不超过 100kg，并且总价值最大。

第二步，我们尝试看下这个问题是否可以用贪心算法解决：每次选择当前情况下，在对限制值同等贡献量的情况下，对期望值贡献最大的数据。

类比到刚刚的例子，我们每次都从剩下的豆子里面，选择单价最高的，也就是重量相同的情况下，对价值贡献最大的豆子。

第三步，我们举几个例子看下贪心算法产生的结果是否是最优的。大部分情况下，举几个例子验证一下就可以了。严格地证明贪心算法的正确性，是非常复杂的，需要涉及比较多的数学推理。而且，从实践的角度来说，大部分能用贪心算法解决的问题，贪心算法的正确性都是显而易见的，也不需要严格的数学推导证明。

实际上，用贪心算法解决问题的思路，并不总能给出最优解。

我来举一个例子。在一个有权图中，我们从顶点 S 开始，找一条到顶点 T 的最短路径（路径中边的权值和最小）。贪心算法的解决思路是，每次都选择一条跟当前顶点相连的权最小的边，直到找到顶点 T。按照这种思路，我们求出的最短路径是 S->A->E->T，路径长度是 1+4+4=9。

但是，这种贪心的选择方式，最终求的路径并不是最短路径，因为路径 S->B->D->T 才是最短路径，因为这条路径的长度是 2+2+2=6。为什么贪心算法在这个问题上不工作了呢？

在这个问题上，贪心算法不工作的主要原因是，前面的选择，会影响后面的选择。如果我们第一步从顶点 S 走到顶点 A，那接下来面对的顶点和边，跟第一步从顶点 S 走到顶点 B，是完全不同的。所以，即便我们第一步选择最优的走法（边最短），但有可能因为这一步选择，导致后面每一步的选择都很糟糕，最终也就无缘全局最优解了。

贪心算法实战分析

对于贪心算法，你是不是还有点懵？如果死抠理论的话，确实很难理解透彻。掌握贪心算法的关键是多练习。只要多练习几道题，自然就有感觉了。所以，我带着你分析几个具体的例子，帮助你深入理解贪心算法。

1. 分糖果

我们有 m 个糖果和 n 个孩子。我们现在要把糖果分给这些孩子吃，但是糖果少，孩子多（m<n），所以糖果只能分配给一部分孩子。

每个糖果的大小不等，这 m 个糖果的大小分别是 s1，s2，s3，……，sm。除此之外，每个孩子对糖果大小的需求也是不一样的，只有糖果的大小大于等于孩子的对糖果大小的需求的时候，孩子才得到满足。假设这 n 个孩子对糖果大小的需求分别是 g1，g2，g3，……，gn。

我的问题是，如何分配糖果，能尽可能满足最多数量的孩子？

我们可以把这个问题抽象成，从 n 个孩子中，抽取一部分孩子分配糖果，让满足的孩子的个数（期望值）是最大的。这个问题的限制值就是糖果个数 m。

我们现在来看看如何用贪心算法来解决。对于一个孩子来说，如果小的糖果可以满足，我们就没必要用更大的糖果，这样更大的就可以留给其他对糖果大小需求更大的孩子。另一方面，对糖果大小需求小的孩子更容易被满足，所以，我们可以从需求小的孩子开始分配糖果。因为满足一个需求大的孩子跟满足一个需求小的孩子，对我们期望值的贡献是一样的。

我们每次从剩下的孩子中，找出对糖果大小需求最小的，然后发给他剩下的糖果中能满足他的最小的糖果，这样得到的分配方案，也就是满足的孩子个数最多的方案。

2. 钱币找零

这个问题在我们的日常生活中更加普遍。假设我们有 1 元、2 元、5 元、10 元、20 元、50 元、100 元这些面额的纸币，它们的张数分别是 c1、c2、c5、c10、c20、c50、c100。我们现在要用这些钱来支付 K 元，最少要用多少张纸币呢？

在生活中，我们肯定是先用面值最大的来支付，如果不够，就继续用更小一点面值的，以此类推，最后剩下的用 1 元来补齐。

在贡献相同期望值（纸币数目）的情况下，我们希望多贡献点金额，这样就可以让纸币数更少，这就是一种贪心算法的解决思路。直觉告诉我们，这种处理方法就是最好的。实际上，要严谨地证明这种贪心算法的正确性，需要比较复杂的、有技巧的数学推导，我不建议你花太多时间在上面，不过如果感兴趣的话，可以自己去研究下。

3. 区间覆盖

假设我们有 n 个区间，区间的起始端点和结束端点分别是 [l1, r1]，[l2, r2]，[l3, r3]，……，[ln, rn]。我们从这 n 个区间中选出一部分区间，这部分区间满足两两不相交（端点相交的情况不算相交），最多能选出多少个区间呢？

这个问题的处理思路稍微不是那么好懂，不过，我建议你最好能弄懂，因为这个处理思想在很多贪心算法问题中都有用到，比如任务调度、教师排课等等问题。

这个问题的解决思路是这样的：我们假设这 n 个区间中最左端点是 lmin，最右端点是 rmax。这个问题就相当于，我们选择几个不相交的区间，从左到右将 [lmin, rmax] 覆盖上。我们按照起始端点从小到大的顺序对这 n 个区间排序。

我们每次选择的时候，左端点跟前面的已经覆盖的区间不重合的，右端点又尽量小的，这样可以让剩下的未覆盖区间尽可能的大，就可以放置更多的区间。这实际上就是一种贪心的选择方法。

如何用贪心算法实现霍夫曼编码？

假设我有一个包含 1000 个字符的文件，每个字符占 1 个 byte（1byte=8bits），存储这 1000 个字符就一共需要 8000bits，那有没有更加节省空间的存储方式呢？

假设我们通过统计分析发现，这 1000 个字符中只包含 6 种不同字符，假设它们分别是 a、b、c、d、e、f。而 3 个二进制位（bit）就可以表示 8 个不同的字符，所以，为了尽量减少存储空间，每个字符我们用 3 个二进制位来表示。那存储这 1000 个字符只需要 3000bits 就可以了，比原来的存储方式节省了很多空间。不过，还有没有更加节省空间的存储方式呢？

a(000)、b(001)、c(010)、d(011)、e(100)、f(101)

霍夫曼编码就要登场了。霍夫曼编码是一种十分有效的编码方法，广泛用于数据压缩中，其压缩率通常在 20%～90% 之间。

霍夫曼编码不仅会考察文本中有多少个不同字符，还会考察每个字符出现的频率，根据频率的不同，选择不同长度的编码。霍夫曼编码试图用这种不等长的编码方法，来进一步增加压缩的效率。如何给不同频率的字符选择不同长度的编码呢？根据贪心的思想，我们可以把出现频率比较多的字符，用稍微短一些的编码；出现频率比较少的字符，用稍微长一些的编码。

对于等长的编码来说，我们解压缩起来很简单。比如刚才那个例子中，我们用 3 个 bit 表示一个字符。在解压缩的时候，我们每次从文本中读取 3 位二进制码，然后翻译成对应的字符。但是，霍夫曼编码是不等长的，每次应该读取 1 位还是 2 位、3 位等等来解压缩呢？这个问题就导致霍夫曼编码解压缩起来比较复杂。为了避免解压缩过程中的歧义，霍夫曼编码要求各个字符的编码之间，不会出现某个编码是另一个编码前缀的情况。

假设这 6 个字符出现的频率从高到低依次是 a、b、c、d、e、f。我们把它们编码下面这个样子，任何一个字符的编码都不是另一个的前缀，在解压缩的时候，我们每次会读取尽可能长的可解压的二进制串，所以在解压缩的时候也不会歧义。经过这种编码压缩之后，这 1000 个字符只需要 2100bits 就可以了。

尽管霍夫曼编码的思想并不难理解，但是如何根据字符出现频率的不同，给不同的字符进行不同长度的编码呢？这里的处理稍微有些技巧。

我们把每个字符看作一个节点，并且辅带着把频率放到优先级队列中。我们从队列中取出频率最小的两个节点 A、B，然后新建一个节点 C，把频率设置为两个节点的频率之和，并把这个新节点 C 作为节点 A、B 的父节点。最后再把 C 节点放入到优先级队列中。重复这个过程，直到队列中没有数据。

现在，我们给每一条边加上画一个权值，指向左子节点的边我们统统标记为 0，指向右子节点的边，我们统统标记为 1，那从根节点到叶节点的路径就是叶节点对应字符的霍夫曼编码。

贪心算法适用的场景比较有限。这种算法思想更多的是指导设计基础算法。比如最小生成树算法、单源最短路径算法，这些算法都用到了贪心算法。从我个人的学习经验来讲，不要刻意去记忆贪心算法的原理，多练习才是最有效的学习方法。

贪心算法的最难的一块是如何将要解决的问题抽象成贪心算法模型，只要这一步搞定之后，贪心算法的编码一般都很简单。贪心算法解决问题的正确性虽然很多时候都看起来是显而易见的，但是要严谨地证明算法能够得到最优解，并不是件容易的事。所以，很多时候，我们只需要多举几个例子，看一下贪心算法的解决方案是否真的能得到最优解就可以了。

如何理解分治算法？

为什么说 MapRedue 的本质就是分治算法呢？我们先来看，什么是分治算法？

分治算法（divide and conquer）的核心思想其实就是四个字，分而治之，也就是将原问题划分成 n 个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

这个定义看起来有点类似递归的定义。关于分治和递归的区别，我们在排序（下）的时候讲过，分治算法是一种处理问题的思想，递归是一种编程技巧。实际上，分治算法一般都比较适合用递归来实现。分治算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样三个操作：

分解：将原问题分解成一系列子问题；
解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解；
合并：将子问题的结果合并成原问题。

分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：

原问题与分解成的小问题具有相同的模式；
原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别，等我们讲到动态规划的时候，会详细对比这两种算法；
具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小时，可以直接求解；
可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

分治算法应用举例分析

理解分治算法的原理并不难，但是要想灵活应用并不容易。所以，接下来，我会带你用分治算法解决我们在讲排序的时候涉及的一个问题，加深你对分治算法的理解。

还记得我们在排序算法里讲的数据的有序度、逆序度的概念吗？我当时讲到，我们用有序度来表示一组数据的有序程度，用逆序度表示一组数据的无序程度。

假设我们有 n 个数据，我们期望数据从小到大排列，那完全有序的数据的有序度就是 n(n-1)/2，逆序度等于 0；相反，倒序排列的数据的有序度就是 0，逆序度是 n(n-1)/2。除了这两种极端情况外，我们通过计算有序对或者逆序对的个数，来表示数据的有序度或逆序度。

我现在的问题是，如何编程求出一组数据的有序对个数或者逆序对个数呢？因为有序对个数和逆序对个数的求解方式是类似的，所以你可以只思考逆序对个数的求解方法。

最笨的方法是，拿每个数字跟它后面的数字比较，看有几个比它小的。我们把比它小的数字个数记作 k，通过这样的方式，把每个数字都考察一遍之后，然后对每个数字对应的 k 值求和，最后得到的总和就是逆序对个数。不过，这样操作的时间复杂度是 O(n^2)。那有没有更加高效的处理方法呢？

我们用分治算法来试试。我们套用分治的思想来求数组 A 的逆序对个数。我们可以将数组分成前后两半 A1 和 A2，分别计算 A1 和 A2 的逆序对个数 K1 和 K2，然后再计算 A1 与 A2 之间的逆序对个数 K3。那数组 A 的逆序对个数就等于 K1+K2+K3。

我们前面讲过，使用分治算法其中一个要求是，子问题合并的代价不能太大，否则就起不了降低时间复杂度的效果了。那回到这个问题，如何快速计算出两个子问题 A1 与 A2 之间的逆序对个数呢？

这里就要借助归并排序算法了。你可以先试着想想，如何借助归并排序算法来解决呢？

归并排序中有一个非常关键的操作，就是将两个有序的小数组，合并成一个有序的数组。实际上，在这个合并的过程中，我们就可以计算这两个小数组的逆序对个数了。每次合并操作，我们都计算逆序对个数，把这些计算出来的逆序对个数求和，就是这个数组的逆序对个数了。

尽管我画了张图来解释，但是我个人觉得，对于工程师来说，看代码肯定更好理解一些，所以我们把这个过程翻译成了代码，你可以结合着图和文字描述一起看下。

private int num = 0; // 全局变量或者成员变量
 
public int count(int[] a, int n) {
  num = 0;
  mergeSortCounting(a, 0, n-1);
  return num;
}
 
private void mergeSortCounting(int[] a, int p, int r) {
  if (p >= r) return;
  int q = (p+r)/2;
  mergeSortCounting(a, p, q);
  mergeSortCounting(a, q+1, r);
  merge(a, p, q, r);
}
 
private void merge(int[] a, int p, int q, int r) {
  int i = p, j = q+1, k = 0;
  int[] tmp = new int[r-p+1];
  while (i<=q && j<=r) {
    if (a[i] <= a[j]) {
      tmp[k++] = a[i++];
    } else {
      num += (q-i+1); // 统计 p-q 之间，比 a[j] 大的元素个数
      tmp[k++] = a[j++];
    }
  }
  while (i <= q) { // 处理剩下的
    tmp[k++] = a[i++];
  }
  while (j <= r) { // 处理剩下的
    tmp[k++] = a[j++];
  }
  for (i = 0; i <= r-p; ++i) { // 从 tmp 拷贝回 a
    a[p+i] = tmp[i];
  }
}

有很多同学经常说，某某算法思想如此巧妙，我是怎么也想不到的。实际上，确实是的。有些算法确实非常巧妙，并不是每个人短时间都能想到的。比如这个问题，并不是每个人都能想到可以借助归并排序算法来解决，不夸张地说，如果之前没接触过，绝大部分人都想不到。但是，如果我告诉你可以借助归并排序算法来解决，那你就应该要想到如何改造归并排序，来求解这个问题了，只要你能做到这一点，我觉得就很棒了。

关于分治算法，我这还有两道比较经典的问题，你可以自己练习一下。

二维平面上有 n 个点，如何快速计算出两个距离最近的点对？
有两个 n*n 的矩阵 A，B，如何快速求解两个矩阵的乘积 C=A*B？

分治思想在海量数据处理中的应用

分治算法思想的应用是非常广泛的，并不仅限于指导编程和算法设计。它还经常用在海量数据处理的场景中。我们前面讲的数据结构和算法，大部分都是基于内存存储和单机处理。但是，如果要处理的数据量非常大，没法一次性放到内存中，这个时候，这些数据结构和算法就无法工作了。

比如，给 10GB 的订单文件按照金额排序这样一个需求，看似是一个简单的排序问题，但是因为数据量大，有 10GB，而我们的机器的内存可能只有 2、3GB 这样子，无法一次性加载到内存，也就无法通过单纯地使用快排、归并等基础算法来解决了。

要解决这种数据量大到内存装不下的问题，我们就可以利用分治的思想。我们可以将海量的数据集合根据某种方法，划分为几个小的数据集合，每个小的数据集合单独加载到内存来解决，然后再将小数据集合合并成大数据集合。实际上，利用这种分治的处理思路，不仅仅能克服内存的限制，还能利用多线程或者多机处理，加快处理的速度。

比如刚刚举的那个例子，给 10GB 的订单排序，我们就可以先扫描一遍订单，根据订单的金额，将 10GB 的文件划分为几个金额区间。比如订单金额为 1 到 100 元的放到一个小文件，101 到 200 之间的放到另一个文件，以此类推。这样每个小文件都可以单独加载到内存排序，最后将这些有序的小文件合并，就是最终有序的 10GB 订单数据了。

如果订单数据存储在类似 GFS 这样的分布式系统上，当 10GB 的订单被划分成多个小文件的时候，每个文件可以并行加载到多台机器上处理，最后再将结果合并在一起，这样并行处理的速度也加快了很多。不过，这里有一个点要注意，就是数据的存储与计算所在的机器是同一个或者在网络中靠的很近（比如一个局域网内，数据存取速度很快），否则就会因为数据访问的速度，导致整个处理过程不但不会变快，反而有可能变慢。

如何理解“回溯算法”？

在我们的一生中，会遇到很多重要的岔路口。在岔路口上，每个选择都会影响我们今后的人生。有的人在每个岔路口都能做出最正确的选择，最后生活、事业都达到了一个很高的高度；而有的人一路选错，最后碌碌无为。如果人生可以量化，那如何才能在岔路口做出最正确的选择，让自己的人生“最优”呢？

我们可以借助前面学过的贪心算法，在每次面对岔路口的时候，都做出看起来最优的选择，期望这一组选择可以使得我们的人生达到“最优”。但是，我们前面也讲过，贪心算法并不一定能得到最优解。那有没有什么办法能得到最优解呢？

2004 年上映了一部非常著名的电影《蝴蝶效应》，讲的就是主人公为了达到自己的目标，一直通过回溯的方法，回到童年，在关键的岔路口，重新做选择。当然，这只是科幻电影，我们的人生是无法倒退的，但是这其中蕴含的思想其实就是回溯算法。

笼统地讲，回溯算法很多时候都应用在“搜索”这类问题上。不过这里说的搜索，并不是狭义的指我们前面讲过的图的搜索算法，而是在一组可能的解中，搜索满足期望的解。

回溯的处理思想，有点类似枚举搜索。我们枚举所有的解，找到满足期望的解。为了有规律地枚举所有可能的解，避免遗漏和重复，我们把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段，我们都会面对一个岔路口，我们先随意选一条路走，当发现这条路走不通的时候（不符合期望的解），就回退到上一个岔路口，另选一种走法继续走。

理论的东西还是过于抽象，老规矩，我还是举例说明一下。我举一个经典的回溯例子，我想你可能已经猜到了，那就是八皇后问题。

我们有一个 8×8 的棋盘，希望往里放 8 个棋子（皇后），每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。你可以看我画的图，第一幅图是满足条件的一种方法，第二幅图是不满足条件的。八皇后问题就是期望找到所有满足这种要求的放棋子方式。

我们把这个问题划分成 8 个阶段，依次将 8 个棋子放到第一行、第二行、第三行……第八行。在放置的过程中，我们不停地检查当前的方法，是否满足要求。如果满足，则跳到下一行继续放置棋子；如果不满足，那就再换一种方法，继续尝试。

回溯算法非常适合用递归代码实现，所以，我把八皇后的算法翻译成代码。我在代码里添加了详细的注释，你可以对比着看下。如果你之前没有接触过八皇后问题，建议你自己用熟悉的编程语言实现一遍，这对你理解回溯思想非常有帮助。

int[] result = new int[8];// 全局或成员变量, 下标表示行, 值表示 queen 存储在哪一列
public void cal8queens(int row) { // 调用方式：cal8queens(0);
  if (row == 8) { // 8 个棋子都放置好了，打印结果
    printQueens(result);
    return; // 8 行棋子都放好了，已经没法再往下递归了，所以就 return
  }
  for (int column = 0; column < 8; ++column) { // 每一行都有 8 中放法
    if (isOk(row, column)) { // 有些放法不满足要求
      result[row] = column; // 第 row 行的棋子放到了 column 列
      cal8queens(row+1); // 考察下一行
    }
  }
}
 
private boolean isOk(int row, int column) {// 判断 row 行 column 列放置是否合适
  int leftup = column - 1, rightup = column + 1;
  for (int i = row-1; i >= 0; --i) { // 逐行往上考察每一行
    if (result[i] == column) return false; // 第 i 行的 column 列有棋子吗？
    if (leftup >= 0) { // 考察左上对角线：第 i 行 leftup 列有棋子吗？
      if (result[i] == leftup) return false;
    }
    if (rightup < 8) { // 考察右上对角线：第 i 行 rightup 列有棋子吗？
      if (result[i] == rightup) return false;
    }
    --leftup; ++rightup;
  }
  return true;
}
 
private void printQueens(int[] result) { // 打印出一个二维矩阵
  for (int row = 0; row < 8; ++row) {
    for (int column = 0; column < 8; ++column) {
      if (result[row] == column) System.out.print("Q ");
      else System.out.print("* ");
    }
    System.out.println();
  }
  System.out.println();
}

两个回溯算法的经典应用

回溯算法的理论知识很容易弄懂。不过，对于新手来说，比较难的是用递归来实现。所以，我们再通过两个例子，来练习一下回溯算法的应用和实现。

1.0-1 背包

0-1 背包是非常经典的算法问题，很多场景都可以抽象成这个问题模型。这个问题的经典解法是动态规划，不过还有一种简单但没有那么高效的解法，那就是今天讲的回溯算法。动态规划的解法我下一节再讲，我们先来看下，如何用回溯法解决这个问题。

0-1 背包问题有很多变体，我这里介绍一种比较基础的。我们有一个背包，背包总的承载重量是 Wkg。现在我们有 n 个物品，每个物品的重量不等，并且不可分割。我们现在期望选择几件物品，装载到背包中。在不超过背包所能装载重量的前提下，如何让背包中物品的总重量最大？

实际上，背包问题我们在贪心算法那一节，已经讲过一个了，不过那里讲的物品是可以分割的，我可以装某个物品的一部分到背包里面。今天讲的这个背包问题，物品是不可分割的，要么装要么不装，所以叫 0-1 背包问题。显然，这个问题已经无法通过贪心算法来解决了。我们现在来看看，用回溯算法如何来解决。

对于每个物品来说，都有两种选择，装进背包或者不装进背包。对于 n 个物品来说，总的装法就有 2^n 种，去掉总重量超过 Wkg 的，从剩下的装法中选择总重量最接近 Wkg 的。不过，我们如何才能不重复地穷举出这 2^n 种装法呢？

这里就可以用回溯的方法。我们可以把物品依次排列，整个问题就分解为了 n 个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择。先对第一个物品进行处理，选择装进去或者不装进去，然后再递归地处理剩下的物品。描述起来很费劲，我们直接看代码，反而会更加清晰一些。

这里还稍微用到了一点搜索剪枝的技巧，就是当发现已经选择的物品的重量超过 Wkg 之后，我们就停止继续探测剩下的物品。你可以看我写的具体的代码。

public int maxW = Integer.MIN_VALUE; // 存储背包中物品总重量的最大值
// cw 表示当前已经装进去的物品的重量和；i 表示考察到哪个物品了；
// w 背包重量；items 表示每个物品的重量；n 表示物品个数
// 假设背包可承受重量 100，物品个数 10，物品重量存储在数组 a 中，那可以这样调用函数：
// f(0, 0, a, 10, 100)
public void f(int i, int cw, int[] items, int n, int w) {
  if (cw == w || i == n) { // cw==w 表示装满了 ;i==n 表示已经考察完所有的物品
    if (cw > maxW) maxW = cw;
    return;
  }
  f(i+1, cw, items, n, w);
  if (cw + items[i] <= w) {// 已经超过可以背包承受的重量的时候，就不要再装了
    f(i+1,cw + items[i], items, n, w);
  }
}

2. 正则表达式

看懂了 0-1 背包问题，我们再来看另外一个例子，正则表达式匹配。

对于一个开发工程师来说，正则表达式你应该不陌生吧？在平时的开发中，或多或少都应该用过。实际上，正则表达式里最重要的一种算法思想就是回溯。

正则表达式中，最重要的就是通配符，通配符结合在一起，可以表达非常丰富的语义。为了方便讲解，我假设正表达式中只包含“*”和“?”这两种通配符，并且对这两个通配符的语义稍微做些改变，其中，“*”匹配任意多个（大于等于 0 个）任意字符，“?”匹配零个或者一个任意字符。基于以上背景假设，我们看下，如何用回溯算法，判断一个给定的文本，能否跟给定的正则表达式匹配？

我们依次考察正则表达式中的每个字符，当是非通配符时，我们就直接跟文本的字符进行匹配，如果相同，则继续往下处理；如果不同，则回溯。

如果遇到特殊字符的时候，我们就有多种处理方式了，也就是所谓的岔路口，比如“*”有多种匹配方案，可以匹配任意个文本串中的字符，我们就先随意的选择一种匹配方案，然后继续考察剩下的字符。如果中途发现无法继续匹配下去了，我们就回到这个岔路口，重新选择一种匹配方案，然后再继续匹配剩下的字符。

有了前面的基础，是不是这个问题就好懂多了呢？我把这个过程翻译成了代码，你可以结合着一块看下，应该有助于你理解。

public class Pattern {
  private boolean matched = false;
  private char[] pattern; // 正则表达式
  private int plen; // 正则表达式长度
 
  public Pattern(char[] pattern, int plen) {
    this.pattern = pattern;
    this.plen = plen;
  }
 
  public boolean match(char[] text, int tlen) { // 文本串及长度
    matched = false;
    rmatch(0, 0, text, tlen);
    return matched;
  }
 
  private void rmatch(int ti, int pj, char[] text, int tlen) {
    if (matched) return; // 如果已经匹配了，就不要继续递归了
    if (pj == plen) { // 正则表达式到结尾了
      if (ti == tlen) matched = true; // 文本串也到结尾了
      return;
    }
    if (pattern[pj] == '*') { // * 匹配任意个字符
      for (int k = 0; k <= tlen-ti; ++k) {
        rmatch(ti+k, pj+1, text, tlen);
      }
    } else if (pattern[pj] == '?') { // ? 匹配 0 个或者 1 个字符
      rmatch(ti, pj+1, text, tlen);
      rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);
    } else if (ti < tlen && pattern[pj] == text[ti]) { // 纯字符匹配才行
      rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);
    }
  }
}

回溯算法的思想非常简单，大部分情况下，都是用来解决广义的搜索问题，也就是，从一组可能的解中，选择出一个满足要求的解。回溯算法非常适合用递归来实现，在实现的过程中，剪枝操作是提高回溯效率的一种技巧。利用剪枝，我们并不需要穷举搜索所有的情况，从而提高搜索效率。

尽管回溯算法的原理非常简单，但是却可以解决很多问题，比如我们开头提到的深度优先搜索、八皇后、0-1 背包问题、图的着色、旅行商问题、数独、全排列、正则表达式匹配等等。

“一个模型三个特征”理论讲解

什么样的问题适合用动态规划来解决呢？换句话说，动态规划能解决的问题有什么规律可循呢？实际上，动态规划作为一个非常成熟的算法思想，很多人对此已经做了非常全面的总结。我把这部分理论总结为“一个模型三个特征”。

首先，我们来看，什么是“一个模型”？它指的是动态规划适合解决的问题的模型。我把这个模型定义为“多阶段决策最优解模型”。下面我具体来给你讲讲。

我们一般是用动态规划来解决最优问题。而解决问题的过程，需要经历多个决策阶段。每个决策阶段都对应着一组状态。然后我们寻找一组决策序列，经过这组决策序列，能够产生最终期望求解的最优值。

现在，我们再来看，什么是“三个特征”？它们分别是最优子结构、无后效性和重复子问题。这三个概念比较抽象，我来逐一详细解释一下。

1. 最优子结构

最优子结构指的是，问题的最优解包含子问题的最优解。反过来说就是，我们可以通过子问题的最优解，推导出问题的最优解。如果我们把最优子结构，对应到我们前面定义的动态规划问题模型上，那我们也可以理解为，后面阶段的状态可以通过前面阶段的状态推导出来。

2. 无后效性

无后效性有两层含义，第一层含义是，在推导后面阶段的状态的时候，我们只关心前面阶段的状态值，不关心这个状态是怎么一步一步推导出来的。第二层含义是，某阶段状态一旦确定，就不受之后阶段的决策影响。无后效性是一个非常“宽松”的要求。只要满足前面提到的动态规划问题模型，其实基本上都会满足无后效性。

3. 重复子问题

这个概念比较好理解。前面一节，我已经多次提过。如果用一句话概括一下，那就是，不同的决策序列，到达某个相同的阶段时，可能会产生重复的状态。

“一个模型三个特征”实例剖析

“一个模型三个特征”这部分是理论知识，比较抽象，你看了之后可能还是有点懵，有种似懂非懂的感觉，没关系，这个很正常。接下来，我结合一个具体的动态规划问题，来给你详细解释。

假设我们有一个 n 乘以 n 的矩阵 w[n][n]。矩阵存储的都是正整数。棋子起始位置在左上角，终止位置在右下角。我们将棋子从左上角移动到右下角。每次只能向右或者向下移动一位。从左上角到右下角，会有很多不同的路径可以走。我们把每条路径经过的数字加起来看作路径的长度。那从左上角移动到右下角的最短路径长度是多少呢？

我们先看看，这个问题是否符合“一个模型”？

从 (0, 0) 走到 (n-1, n-1)，总共要走 2*(n-1) 步，也就对应着 2*(n-1) 个阶段。每个阶段都有向右走或者向下走两种决策，并且每个阶段都会对应一个状态集合。

我们把状态定义为 min_dist(i, j)，其中 i 表示行，j 表示列。min_dist 表达式的值表示从 (0, 0) 到达 (i, j) 的最短路径长度。所以，这个问题是一个多阶段决策最优解问题，符合动态规划的模型。

我们再来看，这个问题是否符合“三个特征”？

我们可以用回溯算法来解决这个问题。如果你自己写一下代码，画一下递归树，就会发现，递归树中有重复的节点。重复的节点表示，从左上角到节点对应的位置，有多种路线，这也能说明这个问题中存在重复子问题。

如果我们走到 (i, j) 这个位置，我们只能通过 (i-1, j)，(i, j-1) 这两个位置移动过来，也就是说，我们想要计算 (i, j) 位置对应的状态，只需要关心 (i-1, j)，(i, j-1) 两个位置对应的状态，并不关心棋子是通过什么样的路线到达这两个位置的。而且，我们仅仅允许往下和往右移动，不允许后退，所以，前面阶段的状态确定之后，不会被后面阶段的决策所改变，所以，这个问题符合“无后效性”这一特征。

刚刚定义状态的时候，我们把从起始位置 (0, 0) 到 (i, j) 的最小路径，记作 min_dist(i, j)。因为我们只能往右或往下移动，所以，我们只有可能从 (i, j-1) 或者 (i-1, j) 两个位置到达 (i, j)。也就是说，到达 (i, j) 的最短路径要么经过 (i, j-1)，要么经过 (i-1, j)，而且到达 (i, j) 的最短路径肯定包含到达这两个位置的最短路径之一。换句话说就是，min_dist(i, j) 可以通过 min_dist(i, j-1) 和 min_dist(i-1, j) 两个状态推导出来。这就说明，这个问题符合“最优子结构”。

min_dist(i, j) = w[i][j] + min(min_dist(i, j-1), min_dist(i-1, j))

两种动态规划解题思路总结

刚刚我讲了，如何鉴别一个问题是否可以用动态规划来解决。现在，我再总结一下，动态规划解题的一般思路，让你面对动态规划问题的时候，能够有章可循，不至于束手无策。

我个人觉得，解决动态规划问题，一般有两种思路。我把它们分别叫作，状态转移表法和状态转移方程法。

1. 状态转移表法

一般能用动态规划解决的问题，都可以使用回溯算法的暴力搜索解决。所以，当我们拿到问题的时候，我们可以先用简单的回溯算法解决，然后定义状态，每个状态表示一个节点，然后对应画出递归树。从递归树中，我们很容易可以看出来，是否存在重复子问题，以及重复子问题是如何产生的。以此来寻找规律，看是否能用动态规划解决。

找到重复子问题之后，接下来，我们有两种处理思路，第一种是直接用回溯加“备忘录”的方法，来避免重复子问题。从执行效率上来讲，这跟动态规划的解决思路没有差别。第二种是使用动态规划的解决方法，状态转移表法。第一种思路，我就不讲了，你可以看看上一节的两个例子。我们重点来看状态转移表法是如何工作的。

我们先画出一个状态表。状态表一般都是二维的，所以你可以把它想象成二维数组。其中，每个状态包含三个变量，行、列、数组值。我们根据决策的先后过程，从前往后，根据递推关系，分阶段填充状态表中的每个状态。最后，我们将这个递推填表的过程，翻译成代码，就是动态规划代码了。

尽管大部分状态表都是二维的，但是如果问题的状态比较复杂，需要很多变量来表示，那对应的状态表可能就是高维的，比如三维、四维。那这个时候，我们就不适合用状态转移表法来解决了。一方面是因为高维状态转移表不好画图表示，另一方面是因为人脑确实很不擅长思考高维的东西。

现在，我们来看一下，如何套用这个状态转移表法，来解决之前那个矩阵最短路径的问题？

从起点到终点，我们有很多种不同的走法。我们可以穷举所有走法，然后对比找出一个最短走法。不过如何才能无重复又不遗漏地穷举出所有走法呢？我们可以用回溯算法这个比较有规律的穷举算法。

回溯算法的代码实现如下所示。代码很短，而且我前面也分析过很多回溯算法的例题，这里我就不多做解释了，你自己来看看。

private int minDist = Integer.MAX_VALUE; // 全局变量或者成员变量
// 调用方式：minDistBacktracing(0, 0, 0, w, n);
public void minDistBT(int i, int j, int dist, int[][] w, int n) {
  // 到达了 n-1, n-1 这个位置了，这里看着有点奇怪哈，你自己举个例子看下
  if (i == n && j == n) {
    if (dist < minDist) minDist = dist;
    return;
  }
  if (i < n) { // 往下走，更新 i=i+1, j=j
    minDistBT(i + 1, j, dist+w[i][j], w, n);
  }
  if (j < n) { // 往右走，更新 i=i, j=j+1
    minDistBT(i, j+1, dist+w[i][j], w, n);
  }
}

有了回溯代码之后，接下来，我们要画出递归树，以此来寻找重复子问题。在递归树中，一个状态（也就是一个节点）包含三个变量 (i, j, dist)，其中 i，j 分别表示行和列，dist 表示从起点到达 (i, j) 的路径长度。从图中，我们看出，尽管 (i, j, dist) 不存在重复的，但是 (i, j) 重复的有很多。对于 (i, j) 重复的节点，我们只需要选择 dist 最小的节点，继续递归求解，其他节点就可以舍弃了。

既然存在重复子问题，我们就可以尝试看下，是否可以用动态规划来解决呢？

我们画出一个二维状态表，表中的行、列表示棋子所在的位置，表中的数值表示从起点到这个位置的最短路径。我们按照决策过程，通过不断状态递推演进，将状态表填好。为了方便代码实现，我们按行来进行依次填充。

public int minDistDP(int[][] matrix, int n) {
  int[][] states = new int[n][n];
  int sum = 0;
  for (int j = 0; j < n; ++j) { // 初始化 states 的第一行数据
    sum += matrix[0][j];
    states[0][j] = sum;
  }
  sum = 0;
  for (int i = 0; i < n; ++i) { // 初始化 states 的第一列数据
    sum += matrix[i][0];
    states[i][0] = sum;
  }
  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    for (int j = 1; j < n; ++j) {
      states[i][j] = 
            matrix[i][j] + Math.min(states[i][j-1], states[i-1][j]);
    }
  }
  return states[n-1][n-1];
}

2. 状态转移方程法

状态转移方程法有点类似递归的解题思路。我们需要分析，某个问题如何通过子问题来递归求解，也就是所谓的最优子结构。根据最优子结构，写出递归公式，也就是所谓的状态转移方程。有了状态转移方程，代码实现就非常简单了。一般情况下，我们有两种代码实现方法，一种是递归加“备忘录”，另一种是迭代递推。

我们还是拿刚才的例子来举例。最优子结构前面已经分析过了，你可以回过头去再看下。为了方便你查看，我把状态转移方程放到这里。

min_dist(i, j) = w[i][j] + min(min_dist(i, j-1), min_dist(i-1, j))

这里我强调一下，状态转移方程是解决动态规划的关键。如果我们能写出状态转移方程，那动态规划问题基本上就解决一大半了，而翻译成代码非常简单。但是很多动态规划问题的状态本身就不好定义，状态转移方程也就更不好想到。

下面我用递归加“备忘录”的方式，将状态转移方程翻译成来代码，你可以看看。对于另一种实现方式，跟状态转移表法的代码实现是一样的，只是思路不同。

private int[][] matrix = 
         {{1，3，5，9}, {2，1，3，4}，{5，2，6，7}，{6，8，4，3}};
private int n = 4;
private int[][] mem = new int[4][4];
public int minDist(int i, int j) { // 调用 minDist(n-1, n-1);
  if (i == 0 && j == 0) return matrix[0][0];
  if (mem[i][j] > 0) return mem[i][j];
  int minLeft = Integer.MAX_VALUE;
  if (j-1 >= 0) {
    minLeft = minDist(i, j-1);
  }
  int minUp = Integer.MAX_VALUE;
  if (i-1 >= 0) {
    minUp = minDist(i-1, j);
  }
  
  int currMinDist = matrix[i][j] + Math.min(minLeft, minUp);
  mem[i][j] = currMinDist;
  return currMinDist;
}

两种动态规划解题思路到这里就讲完了。我要强调一点，不是每个问题都同时适合这两种解题思路。有的问题可能用第一种思路更清晰，而有的问题可能用第二种思路更清晰，所以，你要结合具体的题目来看，到底选择用哪种解题思路。

状态转移表法解题思路大致可以概括为，回溯算法实现 – 定义状态 – 画递归树 – 找重复子问题 – 画状态转移表 – 根据递推关系填表 – 将填表过程翻译成代码。状态转移方程法的大致思路可以概括为，找最优子结构 – 写状态转移方程 – 将状态转移方程翻译成代码。

四种算法思想比较分析

如果我们将这四种算法思想分一下类，那贪心、回溯、动态规划可以归为一类，而分治单独可以作为一类，因为它跟其他三个都不大一样。为什么这么说呢？前三个算法解决问题的模型，都可以抽象成我们今天讲的那个多阶段决策最优解模型，而分治算法解决的问题尽管大部分也是最优解问题，但是，大部分都不能抽象成多阶段决策模型。

回溯算法是个“万金油”。基本上能用的动态规划、贪心解决的问题，我们都可以用回溯算法解决。回溯算法相当于穷举搜索。穷举所有的情况，然后对比得到最优解。不过，回溯算法的时间复杂度非常高，是指数级别的，只能用来解决小规模数据的问题。对于大规模数据的问题，用回溯算法解决的执行效率就很低了。

尽管动态规划比回溯算法高效，但是，并不是所有问题，都可以用动态规划来解决。能用动态规划解决的问题，需要满足三个特征，最优子结构、无后效性和重复子问题。在重复子问题这一点上，动态规划和分治算法的区分非常明显。分治算法要求分割成的子问题，不能有重复子问题，而动态规划正好相反，动态规划之所以高效，就是因为回溯算法实现中存在大量的重复子问题。

贪心算法实际上是动态规划算法的一种特殊情况。它解决问题起来更加高效，代码实现也更加简洁。不过，它可以解决的问题也更加有限。它能解决的问题需要满足三个条件，最优子结构、无后效性和贪心选择性（这里我们不怎么强调重复子问题）。

其中，最优子结构、无后效性跟动态规划中的无异。“贪心选择性”的意思是，通过局部最优的选择，能产生全局的最优选择。每一个阶段，我们都选择当前看起来最优的决策，所有阶段的决策完成之后，最终由这些局部最优解构成全局最优解。