复杂度分析

时间复杂度

分析，统计算法的执行效率的一种指标

表示方法：大O表示法(高阶无穷小)

算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间。为简化问题，我们假设每行代码的执行时间一样。

看下面一段代码

int cal(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  int j = 1;
  for (; i <= n; ++i) {
    j = 1;
    for (; j <= n; ++j) {
      sum = sum +  i * j;
    }
  }
}

假设每个语句的执行时间是 unit_time，第 2、3、4 行代码，每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 5、6 行代码循环执行了 n 遍，需要 2n * unit_time 的执行时间，第 7、8 行代码循环执行了 $n^{2}$ 遍，所以需要 $2n*n^{2}$ * unit_time的执行时间。所以，整段代码总的执行时间

$T(n)=(2n^{2}+2n+3)∗unit$
我们看到：代码执行的时间与代码行数以及每行代码的执行次数成正比。于是我们定义

$T(n)=O(f(n))$

其中

$f(n)=2n^{2}+2n+3$
表示的是代码执行的次数总和。那么可以推出 $T(n)=O(2n^{2}+2n+3)$

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势。

T(n)=O(2n^{2}+2n+3)

分析方法

只关注循环执行次数最多的一段代码
加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
核心思想是比阶，其实就是高数中的极限的思想。

常见的几种复杂度

1.常数阶： $O(1)$

只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 $O(1)$ 。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是 $O(1)$ 。

例如

int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;

2.对数阶： $O(\log n)$

例如

i=1;
while (i <= n)  {
  i = i * k;// k为常数
}

设循环执行的次数为x，则

$k^{x}=n$

$x=\log_k{n}=\log_k{2}*log{n}$

前面的常数都可以去掉，因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

3.线性阶： $O(n)$

int cal(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i <= n; ++i) {
    sum = sum + i;
  }
  return sum;
}

4.线性对数阶： $O(n\log n)$

5.平方阶： $O(n^{2})$

复杂情况下的复杂度分析

1.最好，最坏情况时间复杂度

看下面一段代码

// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了，那时间复杂度就是 $O(1)$ 。但如果数组中不存在变量 x，那我们就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 $O(n)$ 。所以，不同的情况下，这段代码的时间复杂度是不一样的。

最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度

最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度

2.平均情况时间复杂度

上面的情况，我们没有考虑每种情况出现的概率，考虑概率进去，要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦，为了方便，我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 $\frac{1}{2}$ 。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 $\frac{1}{n}$ 。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 $\frac{1}{2n}$ ，当为最好情况时，1* $\frac{1}{2n}$ ,当需要遍历2个位置时,2* $\frac{1}{2n}$ ，则平均时间复杂度的计算为： ${1\over2n}*(1+2+3+…+n)={ {3n+1}\over4}$ 则平均情况时间复杂度为 $O(n)$ 。

3.均摊时间复杂度

看下面一段代码

// array 表示一个长度为 n 的数组
// 代码中的 array.length 就等于 n
int[] array = new int[n];
int count = 0;

void insert(int val) {
   if (count == array.length) {
      int sum = 0;
      for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
         sum = sum + array[i];
      }
      array[0] = sum;
      count = 1;
   }

   array[count] = val;
   ++count;
}

这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，我们用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。

最理想的情况下，数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 $O(1)$ 。最坏的情况下，数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 $O(n)$ 。

假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 $O(1)$ 。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 $O(n)$ 。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 $\frac{1}{n+1}$ 。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是 $O(1)$ 。

${1\over{n+1} }*(1+1+…+1+n)={2n\over{n+1} }={2\over{1+{1\over{n}} } }$ 首先，find() 函数在极端情况下，复杂度才为 $O(1)$ 。但 insert() 在大部分情况下，时间复杂度都为 $O(1)$ 。只有个别情况下，复杂度才比较高，为 $O(n)$ 。这是 insert()第一个区别于 find() 的地方。

我们再来看第二个不同的地方。对于 insert() 函数来说， $O(1)$ 时间复杂度的插入和 $O(n)$ 时间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个 $O(n)$ 插入之后，紧跟着 n-1 个 $O(1)$ 的插入操作，循环往复（有点像冲击响应😂）

针对这种特殊的场景，我们引入了一种更加简单的分析方法：摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字，叫均摊时间复杂度。

每一次 $O(n)$ 的插入操作，都会跟着 n-1 次 $O(1)$ 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 $O(1)$ 。

对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度

空间复杂度

分析，统计算法的执行效率的一种指标,表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }
 
  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 $O(n)$ 。